n^0+n^1+n^2が6a+5の倍数でない事の証明

何かツイート流れてきたので

特に高い物の証明が出来る腕は無いが、
n^0+n^1+n^2(n:自然数)は5,11,17,23,29の倍数にはならぬらしい。

— 柏木 (@kasiha_ki) 2018年10月13日

以降41,47,53,59,71,83,89,101,107……。畑違いの身には全く解らぬ。

— 柏木 (@kasiha_ki) 2018年10月13日

ゆるぼ
n^0+n^1+n^2(n:自然数)が5,11,17,23,29の倍数にならないという証明

— 和差積 商🍀🌈🎵 (@mofmof_hana) 2018年10月13日

証明

が整数の時、、すなわちがの倍数にならないことを証明する
の倍数はを整数とするとと表す事が出来る
がの倍数だと仮定すると、

がの倍数の時、を整数とし、とすると、
$$
\begin{eqnarray}
\mbox{(左辺)} &=& 1+5p+(5p)^2 \\
&=& 1+5p+25p^2 \\
&=& 1+5(p+5p^2)
\end{eqnarray}
$$

$$
\begin{eqnarray}
\mbox{(右辺)} &=& (6 \cdot 5q + 5)k \\
&=& 5k(6q+1)
\end{eqnarray}
$$
よって左辺はの倍数でない、右辺はの倍数となり矛盾する
よってはの倍数ではない